现在，薛定谔方程告诉我们，ψ不再停留在位置态上，它会很快地弥散开来。尽管如此，其弥散的方式完全由此方程所固定的。它的行为没有任何不确定性或随机性。原则上存在去检查此事实的实验。 （下面还要讲到）。但是，如果我们不明智地决定去测量动量，就会发现所有可能的不同的动量值的幅度平方模相等。实验的结果则是完全的不确定性，这又和海森堡原则相一致，而概率是由幅度的平方模给定。
这无疑是非常奇怪和神秘的。但是它不是不可理喻的世界图像。关于这个由许多非常清楚和准确的定律制约的图像还有许多可说的。然而，关于何时应该祈求随机性的规则R去取代宿命论的U尚没有清楚的规则。 “进行一次测量” 是什么含义？为何 （何时） 对幅度平方取模使之 “成为概率”？“经典水平”能被量子力学地理解吗？这些都是在本章后头要讨论的深刻的令人困惑的问题。粒子同时在两处？我在上面的描述中采取了也许比通常的量子物理学家们更“现实”的关于波函数的观点。我采取了单独粒子的“客观实在”的状态的确是由它的波函数所描述的观点。似乎许多人发现这个观点很难以严肃的方式予以坚持。之所以这样的一个原因是，它牵涉到我们认为单独粒子在空间中弥散开来，而不总是集中在单独的点上的事实。对于一个动量态，由于ψ在整个空间范围内平均地分布，这弥散达到了极端。人们不认为粒子本身发散到空间中去，而宁愿认为位置是完全不确定的。这样，人们关于位置所能说的是粒子在任何一处正和在另一处同样的可能。然而，我们已经看到，波函数不仅提供了不同位置的概率分布；它还提供了不同位置的幅度分布。如果我们知道这个幅度分布（亦即波函数ψ），则我们从薛定谔方程就知道粒子的态从一个时刻向另一时刻演化的精确方式。为了这样地决定粒子的“运动”（也就是ψ随时间的演化），我们需要粒子的这一“发散开去”的观点；而如果我们的确采用这个观点，我们就会看到粒子的运动的确是被精确地决定的。如果我们对粒子施加位置测量，那么关于ψ（x）的“概率观点”就很合适，因为那时仅仅使用ψ（x）的平方模的形式：｜ψ（x）｜2。看来必须接受这样的粒子图像，它会在空间的大范围内发散开去，并会一直发散到下一次进行位置测量为止。甚至当一个粒子被定域为位置态后，下一时刻就会开始发散开去。动量态似乎难于被接受为一个粒子存在的“实在”图像，但它也许更难被接受作刚穿过双缝出来的双峰态的“实在”图像（图6。15）。在垂直的方向上，波函数ψ的形式在每一条缝隙处都有尖锐的峰值。 该波函数为上缝有峰值的波函数ψt和在下缝有峰值的波函数ψb的和①：
ψ（x）=ψt（x）＋ψb（x）。
如果认为ψ代表粒子态的“实在”，那么我们必须接受粒子的确同时在两处的图像！基于这一观点，粒子确实同时穿过两条缝隙。回忆一下反对粒子“同时穿过两条缝隙”这观点的标准说法：如果我们在缝隙处作测量以确定它是否通过那一条缝隙，我们总是发现整个粒子通过这条或那条缝隙。但是这是因为我们对粒子进行位置测量引起的，这时ψ仅仅提供和按照平方模步骤一致的粒子位置的概率分布｜ψ｜2， 而我们的确发现它在这一处或那一处。但是在缝隙处我们还能进行不同于位置测量的其他测量。为此，我们应该知道不同位置x的双缝波函数ψ，而不仅① 由于在一个准确点上找到一个粒子的概率为零，所以在这里产生了技术上的困难。我们把｜ψ（x）｜2定义为概率密度，它表示在我们定义的点附近的某个很小的固定尺度的间隔内找到该粒子的概率。这样，ψ（x）定义了幅度密度，而不是一个幅度。是｜ψ｜2。这样的测量可以将上面给出的双峰态ψ=ψt＋ψb和另一双峰态，如ψt－ψbφt－φb或ψt＋iψb区别开来。 （见图6。16中三种不同情形下的ψ曲线。）因为确实存在将这些不同可能性区别开来的测量，所有它们必须是光子能存在的不同可能的“实际”方式！6。15当光子波函数从一双缝隙出来时，它同时在两处到得峰值。
缝隙没有必要靠得很近使“光子”同时穿过它们。为了演示不管它们距离多么远量子粒子总能“同时在两处”，考虑一个稍微和双缝实验不同的实验装置。和以前一样，我们有一个发出单色光的灯泡。每一时刻只发一个光子；但是这回不让光子通过两个缝隙，我们让它从一面倾斜角45°的半镀银的镜面反射出来。（半镀银镜子是一种刚好将射到它上面的光反射一半，而让所余下的一半光直接穿透过去的镜子。）在它遭遇到镜子以后，光子的波函数分裂成两个部分，一部分反射回来，另一部分继续原先光子的方向。波函数又是双峰值的，但是这回双峰是更宽广地分离开了。一个峰描述反射的光子，而另一峰描述透射的光子（见图6。17）。此外，两峰的分离随着时间流逝变得越来越大，并随着时间无限地增加。想象波函数的这两部分跑到空间去，而我们整整等待了一年。那么光子波函数的这两部分相距将超过一光年。光子不知怎么搞的发现自己同时出现在相距比一光年还远的两地方！
图6。16 三种具有双峰的光子波函数的不同方式。
图6。17 双峰波函数的双峰可以分开到一光年那么远。这可以用半镀银镜面做到。是否有理由去认真地接受这样的图像呢？难道我们不能简单地认为光子有百分之五十的机会在一个地方，而另外百分之五十的机会在另一处呢？不，我们不能！不管旅行了多长时间，总能将光束折射回来，使之再互相遭遇，得到两种不同选择的概率权重所得不到的干涉效应。假定光束的两部分各遇到一面全镀银的镜子。我们调整好镜子的角度使之再次遭遇在一起。在交会点放上另一面半镀银镜子，角度刚如和第一面一样。在两束光的直线方向上各放一个光电管（见图6。18）我们会看到什么呢？如果情况仅仅是，光子有一半的机会走一条途径，另一半机会走另一条，那么我们应该发现其中一个检测器有一半的机会记录到光子，另一半机会是被另一个检测器记录到。然而，事情并非如此。如果两个途径的长度完全相同，则百分之一百的机会是光子抵达放在原先光子运动的方向上的检测器A，而百分之零的概率是光子抵达另一检测器B――光子肯定打到检测器A上去！ （正如在双缝实验中那样，我们可用上面的螺旋描述来看到这些。）当然，这类实验从未在途径长度达到光年数量级以上被实现过，但所叙述的结果从未被（传统的量子物理学家）认真地怀疑过！实际上，这类实验在途径长度为几米的情形下被实现过，其结果的确和量子力学的预言相一致（参阅惠勒1983）。关于光子在它第一次和最后一次和半反射镜遭遇之间的存在的态的“实在”，此结果告诉了我们什么呢？似乎不可避免的是，在某种意义上光子实际上同时沿着两条途径旅行！因为如果将一吸收屏幕放在任何一条途径上，则光子到达A和B的概率将相等；但是当两条途径同时打开（并具有一样长度）则只能到达A！而堵住一条途径时却实际允许到达B！两条途径都打开时，光子“知道”不允许它到达B，所以它必须感觉到两条途径。尼尔斯？玻尔关于在测量瞬息之间的光子存在没有客观“意义”的观点，依我看来是有关光子态实在的过于悲观的观点。量子力学让我们以波函数来描述光子位置的“实在”，而在半镀银镜子之间的光子波函数刚好是双峰态，双峰之间的距离有时非常可观。图6。18 双峰波函数的两个峰不能被简单地认为是光子在这一位置或那一位置的加权概率。可使光子所采取的两个途径相互干涉。我们还注意到， “同时处于两个指定的位置”不是光子态的完全描述：
譬如讲我们必须能把态ψt＋ψb从态ψt…ψb（或ψt＋iψb）区别开来，这儿ψt和ψb是指分别处于两条途径中的光子 （现在分别为 “穿透的”和“反弹的”光子）。正是这种区别决定了光子到达半镀银镜子时，肯定到达A或B（或以中等的概率到达A或B）。量子实在的令人困惑的特征，也就是我们必须认真地认为的粒子可以各种（不同！）的形式“同时处于两处”――这是因为必须允许用复数权重把量子态加起来以得到其他量子态这个事实引起的。这种态的叠加是量子力学称之为量子线性叠加的一般的、重要的特征。正是它允许我们从位置态组成动量态，或从动量态组成位置态。在这些情形下，线性叠加被应用到无限多的不同的态，也就是所有不同的位置态，或所有不同的动量态。但是，正如我们已经看到的，只要把它仅仅应用于一对态就引起了这样的困惑不解。其规则是不管任何两个态是多么不同，它们能在任何复线性叠加上共存。的确，任何自身由单独粒子构成的物理对象应当能以这种在空间中分隔得很开的态的叠加的形式而存在，并因此“同时处于两处”！
量子力学的形式在这方面对于单独粒子还是许多粒子的复杂系统并没有差别。那么为何我们从未经验过宏观物体，（譬如棒球或甚至人）同时处于完全不同的地方？这是一个根本的问题，今日量子理论尚不能为我们真正地提供一个满意的答案。对于像棒球这样的如此富有内容的对象，我们必须认为这些系统处于“经典水平”――或者，正如通常说的，“观察”或“测量”将对该棒球进行的――而那时对我们的线性叠加进行加权的复概率幅度必须已被平方求模，并当作描述实际不同选择的概率。然而，这正好引起一个争议性问题：为何允许我们以这种方式改变U到R的量子规则！以后我还要讨论这个问题。希尔伯特空间我们记得在第五章为了描述经典系统引进了相空间的概念。相空间中
的单独的点代表整个物理系统的（经典的）态。在量子力学中，其相应的类似概念是希尔伯特空间①。现在希尔伯特空间中的单独的点代表整个系统的量子态。我们需要浏览一下希尔伯特空间的数学结构。我希望读者对此无所畏惧。我应该说，虽然其中的一些思想也许是非常陌生的，它不是数学上非常复杂的东西。
希尔伯特空间的最基本的性质在于它是一种所谓的矢量空间――事实上，是一个复的矢量空间。这表明允许我们把空间的任何两个元素加起来得到另一个元素，也允许我们实行带有复杂权重的加法。因为这些是我们刚刚考虑的量子线性叠加的运算，也就是对于上面光子给予我们ψt＋ψb，ψt…ψb，ψt＋iψb等等的各种运算。我们能做到这些。我们使用的术语“复矢量空间”的所有含义就是允许进行这类带权的求和5。可以十分方便地使用狄拉克引进的记号，用某种带角形的括号诸如｜ψ＞，｜x＞，｜ψ＞，｜1＞，｜2＞，｜3＞，｜n＞，｜↑＞，｜↓＞，｜→＞，｜‰＞等等表示被当作态矢量的希尔伯特空间元素。这样，这些符号现在表示量子态。我们把两个态矢量的叠加写作｜ψ＞＋｜x＞，而带复数权重w，z的求和写作w｜ψ＞＋z｜x＞（这里w｜ψ＞表示w×｜ψ＞等等）相应地，我们现在可以将上述的组合ψt＋ψb，ψt…ψb，ψt＋iψb分别写为｜ψt＞＋｜ψb＞，｜ψt＞…｜ψb＞，｜ψt＞＋i｜ψb＞。我们还可以将一个单独态｜ψ＞乘上一个复数w得到w｜ψ＞。
（这是前面的一个特例，即z＝0。）
我们知道可以允许进行复权重的组合，这里w和z不必要是真正的概率幅度，只要是和这些幅度成比例即可。相应地我们采用允许以一个非零复数去乘整个态矢量而物理态不变的规则。 （这会改变w和z的实际的值，但是w∶z保持不变。）下面的每一矢量｜ψ＞，2｜ψ＞，…｜ψ＞，i｜ψ＞， ψ＞，π ψ＞，（ ） ψ＞等等，正如 ψ＞一样，代表 2｜ ｜ 1 … 3i ｜ z｜ 同一个物理态（z≠0）。希尔伯特空间唯一不能解释为物理态的要素是零矢量。（亦即希尔伯特空间的原点）。
图6。19 在希尔伯特空间中的矢量加法和矢量乘以标量，可以用通常① 按照更标准的分析的描述，我们的每一个螺旋（也就是动量态）由表达式ψ=eipx/h=cos（ipx/h）＋isin（ipx/h）给出（见第三章102页）这里p 是问题中动量的值。的方式，正如对在平常空间中的矢量那样摹想为了对所有的这一切进行几何描述，让我们首先考虑“实”矢。量的更通常的概念。人们通常将这样的矢量简单地摹想成平面上或三维空间上的一个箭头。利用平形四边形定律可得到两个箭头的和（图6。19）。用一个（实）数乘一个矢量的运算，按照“箭头”的图像就是简单地将此箭头的长度乘上这数，同时保持箭头的方向不变。如果乘数为负的，那么箭头的方向倒过来；如果乘数为零，则得到零矢量，它没有方向。（矢量O表示零长度的“零箭头”。）作用到一个粒子上的力即是这种矢量的一个例子。而经典速度、加速度和动量则为另外的例子。还有我们在上一章结尾处考虑的动量四矢量那是在四维而不是二维或三维空间的矢量。然而，希尔伯特空间中的矢量具有更高维数（事实上，通常是无限维的，但这一点在这里并不是重要的）。我们记得在经典相空间中也用箭头来表示矢量――那一定是非常高维的。相空间的“维数”不代表通常的空间的方向，希尔伯特空间的“维数”也是这样。相反地，每一希尔伯特空间的维数对应于量子系统的不同的独立的物理态。图6。20希尔伯特空间中的整射线代表物理量子态。
由于｜ψ＞和z｜ψ＞是等效的，所以一个物理态实际上对应于希尔伯特空间中通过原点的整条直线或射线（表述成某一矢量的所有的倍数），而不是这条线上的某一特殊的矢量。 这射线包含特定态矢量｜ψ＞的所有可能的倍数。（请记住，这些是复的倍数，所以直线实际上是复的线，但是现在最好不去忧虑它！）（参见图6。20）。我们将很快找到二维希尔伯特空间情形下的射线空间的精巧图画。无限维的希尔伯特空间是另一种极端情形。甚至在简单的单独粒子位置的情形下也会出现无限维的希尔伯特空间。粒子所有可能的位置都有完整的维！粒子的每个位置都在希尔伯特空间中定义一个完整的“座标轴”。这样，对应于粒子的无限不同的位置在希尔伯特空间中就有无限多不同的独立的方向（或“维数”）。动量态也可在同一希尔伯特空间中被表述。动量态可表达成位置态的组合，每一动量态对应于一个“对角线”出发的相对于位置轴倾斜的轴。所有动量态的集合提供了新的轴的集合。而从位置态轴向动量态轴的过渡牵涉到希尔伯特空间中的一个旋转。图6。21位置态和动量态在同一个希尔伯特空间中提供了正交轴的不同选取。人们甭想以精密的方式来摹想这一切。那是不合情理的！然而，从通常的欧几里德几何可以得到某些对我们非常有用的观念。特别是，我们直到现在考虑过的轴（所有的位置空间轴或所有的动量空间轴都认为是相互正交的，也就是相互夹角为“直角”。射线之间的“正交性”是量子力学中的一个重要概念：正交的射线是指相互独立的态。粒子所有可�
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