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酒吧问题所反映的是这样一个社会现象，正像阿瑟教授说的那样，我们在许多行动中，要猜测别人的行动，然而我们没有更多关于他人的信息，我们只有通过分析过去的历史来预测未来。
生活中有很多例子与这个模型是相同的。比如社会上经常举行的所谓大众评选活动，如全社会进行的“十佳运动员”评选活动，电影爱好者的“百花奖”的评选活动。在这些投票过程中，对于每个投票者的激励是：他如果“正确地”选中某些人，比如“十佳运动员”的评选，不仅要选中10个人，而且顺序也要正确，那么投票者将获得某种奖励。但是如何才能选中“正确的”人选呢？有“正确的”人选吗？得票多的就是“正确的”吗？严格地说：得票最多的是第一名（比如“十佳运动员”中的第一），得票次之的是第二名（如“十佳”运动
员中的第二名），等等。因此，投票者能够选中的话，或者说被他提名的能够当选的话，关键是猜测到别人的想法。猜测对了，你就能获奖；猜测错了，你则不能获奖。在这里，我们可以看到没有正确与否，或者谁应该选上、谁不应该选上的问题，而是投票的人相互猜测的结果（在这个过程中当然舆论的导向作用是很大的，它似乎告诉人们某某人是其他许多人所要选的）。这个例子与酒吧问题的结构是大众评选活动一样的，只不过在评选上是一次性的，没有过去的历史让我们来归纳而已。这明显是博弈问题。另外一个例子是，每年高校招生或研究生报名都呈现出混沌现象，考生通过各种渠道弄清以往专业的报名情况，因为一个简单的道理是：如果报名的人太多，竞争太强，被录取的可能性就低。考生一般根据以往几年的情况来推测当年报名的情况，然而这会造成不准确预测。当考生看到以往几年报名的人很多时，他会想下次人还很多，因而他不敢报名。一旦大多数考生这么想，下次报名的人反而少了；反之，则又多。这与酒吧问题有一致的结构。
少数者博弈及其应用：
股票买卖与交通拥挤问题在本书的导言中我们给出了少数者博弈（Minority Game）的简单模型：失火时面对两个门，你将如何选择。现在我们来介绍这个模型。
少数者博弈是改变了形式的酒吧问题，是由一位定居瑞士的名叫张翼成的中国人在1997年提出的。张教授祖籍河南，科大毕业后80年代初去了瑞士，现在瑞士的弗莱堡大学（University of Fribourg）任教。他提出的少数者博弈影响很大，现在很多物理学家、博弈论专
家研究这个问题。比如，2000年9月在中国科技大学召开的“经济物理学高级研讨班及金融复杂性国际学术讨论会”上许多学者作的报告就是围绕这个问题的。
少数者博弈可以运用于股票市场。每个股民都在猜测其他股民的行为而努力与大多数股民不同。如果多数股民处于“卖”股票的位置，而你处于“买”的位置，股票价格低，你就是赢家；而当你处于少数的“卖”股票的位置，多数人想“买”股票，那么你持有的股票价格将上涨，你将获利。而股民采取什么样的策略则多种多样，而策略的得出完全是根据他们以往的经验归纳出来的，因而类似于这里的少数者博弈的情况。但是物理学家对少数者博弈研究的结论能否用来指导股民在股票市场上搏杀，本人不得而知。
不过本人认为，少数者博弈中一个特殊的结论不具有普遍意义，即：记忆长度长的人未必一定具有优势，因为，如果确实有这样的方法的话，在股票市场上，人们利用计算机存储的大量的股票的历史数据就肯定能够赚到钱了。但是，这样一来，人们将争抢着去购买存储量大即硬盘空间大以及计算速度快的计算机了，在实际中人们还没有发现这是一个炒股票必定赢的方法。
交通拥挤问题的模型也是一个少数者博弈的问题。城市的交通越来越拥挤，选择行车路线也是不断的博弈过程。在交通高峰期间，司机面临两条路的选择时，往往要选择没有太多车的路线行走，此时他宁愿多开一段路程而不愿意在塞车的地段焦急地等待。司机只能根据以往的经验来判断哪条路更好走，而所有司机都不愿意在塞车的道路上行走。因此每一个司机的选择必须考虑其他司机的选择。这也是一个少数者博弈问题。
当然在司机行车的少数者博弈问题中，司机经过多次的选择和学习，许多司机往往能找到规则性，这是以往成功和失败的经验教训给他的指引，但这不是必然有效的规则性。在这个过程中，司机的经验和司机个人的性格起作用。有的司机因有更多的经验而更能躲开塞车的路段；有的司机经验不足，往往不能有效避开高峰路段；有的司机喜欢冒险，宁愿选择短距离的路线；而有的司机因为保守而宁愿选择有较少堵车的较远的路线，等等。最终的路线的拥挤程度就由不同特点和不同经验的司机的选择所构成。
对称的人群为什么会出现破缺性的行动？
——盲目的学习人们拥有的知识是其行动的基础。在上面的酒吧问题中，每个行动者面对的信息是一样的，但每个人所用的预测方法是不同的，即他们所归纳出的预测公式是不同的（这也就是为什么我们说这种归纳没有合理的基础的原因）。然而，尽管如此，对整体人群来说，平均去酒吧的人数占总人数的60％。对每个人来讲，他的预测与行动独立于其他人将要作出的选择——因为假定他们之间没有信息交流。可以这么说，60％两边是对称的。
还有另外一种非对称的情况。我们假定，人们没有足够的知识以支撑自己的行动。如果对可选择的策略或行动没有任何知识，此时行动者的行为就会出现盲目性。但是由于人本身具有学习的天性，快速的学习过程就发生了。让我们看一个例子。
这是一个心理学上的例子：有一群人鱼贯进入一个房间，拿一瓶饮料喝。在他们面前有多种饮料，假定是3种，房间很黑，每个人无法通过视觉判定饮料的质量，当然更无法看清品牌，也就是说，3种饮料给他们呈现的是同样的视觉图像。此时的选择会是怎样的结果呢？
通过实验发现，人们会将特别“偏爱”一种饮料，即几乎所有人都选择一种饮料，而不是3种饮料平均被选取。这里他们所“偏爱”的并非是特定的，在不同的人群中做同样的实验，出现的情况是一样的，只不过每一次被大多数人选取的饮料会不同。此时被选取的饮料具有非对称性。
按通常的情况，假定饮料给每个人呈现同样的视觉图像，人群会出现对称性选择，即每个人会在所给定的几种饮料中随机选取。而由于群体的存在，即使不同的人对某种颜色有偏爱——我们假定人们可看到颜色，每个人的偏爱也会被抵消掉。对群体来说，每种饮料被选取的可能性是一样的。
出现选择的非对称性完全是由于人们的选择行动之间的相互作用。其实这是微妙的，同时是不合理的学习过程。第一个人选取饮料可以说是随机的，在备选的几种饮料中选取完全是任意的，但是接着的人对饮料的选取则不是任意的。由于看到第一个人选择了某种饮料，他会认为第一个人的选取是有根据的，从而也会选择第一个人所选取的饮料。后面的人也会这样想。于是第一个人对某种饮料的选取会传递下去，并且这个过程中越到后面的人越有理由相信选择该种饮料是有根据的。这就是为什么所有的人都倾向于选择一种饮料。
这就是为什么出现非对称的选择结果了。这种传递不是通过语言，而是通过对前面人的选择行动的观察。这是一个学习目的学习过程，并且是一个没有理由的学习过程，也就是说这样的学习过程是没有根据的。
这个心理学上的实验。反映了人们之间互动的情况。这个盲目的跟随现象或者说盲目的学习现象在现实生活中处处可见。
蜈蚣博弈的悖论
倒推法是分析完全且完美信息下的动态博弈的有用工具，在第四章我们分析言语博弈中“威胁”或“承诺”是否可信时，已给出了一个倒推法例子。我们看到，倒推法符合我们的直觉。然而，通过下面的蜈蚣博弈的悖论，我们将看到倒推法存在致命的缺陷。
蜈蚣博弈是由罗森塞尔（Rosenthal）提出的。它是这样一个博弈：两个参与者A、B轮流进行策略选择，可供选择的策略有“合作”和“背叛”（“不合作”）两种。假定A先选，然后
是B，接着是A，如此交替进行。A、B之间的博弈次数为有限次，比如100次。假定这个博弈各自的支付给定如下：
合作合作合作合作
A B A …… A B （100，100）
背叛 背叛 背叛背叛
（1，1）（0，3）（2，2）（99，99）（98，101）
现在的问题是：A、B是如何进行策略选择的？
这个博弈因形状像一只蜈蚣；而被命名成蜈蚣博弈。
这个博弈的奇特之处是：当A决策时，他考虑博弈的最后一步即第100步；B在“合作”和“背叛”之间作出选择时，因“合作”给B带来100的收益，而“不合作”带来101的收益，根据理性人的假定，B会选择“背叛”。但是，要经过第99步才到第100步，在99步，A考虑到B在100步时会选择“背叛”——此时A的收益是98，小于B合作时的100，那么在第99步时，他的最优策略是“背叛”——因为“背叛”的收益99大于“合作”的收益98……如此推论下去，最后的结论是：在第一步A将选择“不合作”，此时各自的收益为1，远远小于大家都采取“合作”策略时的收益：A：100，B：10099。
根据倒推法，结果是令人悲伤的。从逻辑推理来看，倒推法是严密的，但结论是违反直觉的。直觉告诉我们，一开始就采取不合作的策略获取的收益只能为1，而采取合作性策略有可能获取的收益为100。当然，A一开始采取合作性策略的收益有可能为0，但1或者0与100相比实在是太小了。直觉告诉我们采取合作策略是好的。而从逻辑的角度看，一开始A应取不合作的策略。我们不禁要问：是倒推法错了，还是直觉错了？
这就是蜈蚣博弈的悖论。
什么是悖论？悖论（paradox）来源于希腊语，para意即“超越”，doxos的意思是“相信”。Paradox的意思是：本来可以相信的东西不能相信，而有的东西看起来不可信但是反而是正确的。悖论指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一类命题。在历史上有许多悖论。如“阿基里斯赶不上乌龟”的芝诺悖论，“一个克里特人说‘所有克里特人都说谎’”的说谎者悖论，“一个理发师说：‘我给所有不给自己理发的人理发’”的理发师悖论或罗素悖论，等等。这些悖论在历史上对于逻辑和数学的发展起了巨大的作用。
对于蜈蚣悖论，许多博弈专家都在寻求它的解答。在西方有研究博弈论的专家做过实验［目前通过实验验证集体的交互行为已成时尚，正如博弈论专家英国的宾莫（Ken Binmore）所言，诺贝尔奖也无疑在考虑这方面的先驱者］，实验发现，不会出现一开始选择“不合作”策略而双方获得收益1的情况。双方会自动选择合作性策略，从而走向合作。这种做法违反倒推法，但实际上双方这样做，要好于一开始A就采取不合作的策略。
倒推法似乎是不正确的。然而，我们会发现，即使双方开始能走向合作，即双方均采取合作策略，这种合作也不会坚持到最后一步。理性的人出于自身利益的考虑，肯定在某一步采取不合作策略。倒推法肯定在某一步要起作用。只要倒推法在起作用，合作便不能进行下去。
这个悖论在现实中的对应情形是，参与者不会在开始时确定他的策略为“不合作”，但他难以确定在何处采取“不合作”策略。
最后通牒博弈中理性的困境
有这样一个博弈：
两人分一笔总量固定的钱，比如100元。方法是：一人提出方案，另外一人表决。如果表决的人同意，那么就按提出的方案来分；如果不同意的话，两人将一无所得。比如A提方案，B表决。如果A提的方案是70∶30，即A得70元，B得30元。如果B接受，则A得70元，B得30元；如果B不同意，则两人将什么都得不到。
A提方案时要猜测B的反应，A会这样想：根据理性人的假定，A无论提出什么方案给B——除了将所有100元留给自己而一点不给B留这样极端的情况，B只有接受，因为B接受了还有所得，而不接受将一无所获——当然此时A也将一无所获。此时理性的A的方案可以是：留给B一点点比如1分钱，而将99。99元归为己有，即方案是：99。99∶0。01。B接受了还会有0。01元，而不接受，将什么也没有。
这是根据理性人的假定的结果，而实际则不是这个结果。英国博弈论专家宾莫做了实验，发现提方案者倾向于提50∶50，而接受者会倾向于：如果给他的少于30％，他将拒绝；多于30％，则不拒绝。
这个博弈反映的是“人是理性的”这样的假定在某些时候存在着与实际不符的情况。
理论的假定与实际不符的另外一个例子是“彩票问题”。
我们说理性的人是使自己的效益最大，如果在信息不完全的情况下则是使自己的期望效益最大。但是这难以解释现实中人们购买彩票的现象。
人们愿意掏少量的钱去买彩票，如买福利彩票、体育彩票等，以博取高额的回报。在这样的过程中，人们自己的选择理性发挥不出来，而惟有靠运气。在这个博弈中，人们要在决定购买彩票还是决定不买彩票之间进行选择，根据理性人的假定，选择不买彩票是理性的，而选择买彩票是不理性的。
彩票的命中率肯定低，并且命中率与命中所得相乘肯定低于购买的付出，因为彩票的发行者早已计算过了，他们通过发行彩票将获得高额回报，他们肯定赢。在这样的博弈中，彩票购买者是不理性的：他未使自己的期望效益最大。但在社会上有各种各样的彩票存在，也有大量的人来购买。可见，理性人的假定是不符合实际情况的。
当然我们可以给出这样一个解释：现实中人的理性的计算能力往往用在不符合实际情况的“高效用”问题上，而在“低效用”问题上，理性往往失去作用，对于人来说，存在着“低效用的区决策陷阱”。在购买彩票问题上，付出少量的金钱给购买者带来的损失不大，损失的效用几乎为零，而所能命中的期望也几乎是零，这时候，影响人抉择的是非理性的因素。比如，考虑到如果自己运气好的话，可以获得高回报，这样可以给自己带来更大的效用，等等。彩票发行者正是利用人存在着“低效用区的决策陷阱”而寻求保证赚钱的获利途径。
陈水扁上台与民主选举的
不可根除的缺陷蜈蚣博弈的悖论反映了单个参与者博弈的困难，个体难以在“利己”和“利他”之间找到一个合理的策略。蜈蚣博弈悖论是单个决策者的决策悖论，它反映了个体理性的局限。
在集体进行决策时同样也面临着理性的局限。2000年台湾所谓“总统”选举可以说是中国发生的一件大事。对于中国大陆来说，谁来做台湾新的领导人意味着台湾的未来走向，即
：独立还是统一。而对于台湾人民，新的领导人的未来政策意味着�